(2n + 5) divise-t-il (n-1) ? - Corrigé

Énoncé

Déterminer les entiers $n\in \mathbb{Z}$ tels que $2n+5$ divise $n-1$ .

Solution

Soit $n\in \mathbb{Z}$ tel que $2n+5$ divise $n-1$ .
Alors $2n+5$ divise aussi $(2n+5)-2(n-1)=2n+5-2n+2=7$ .

Or $\mathcal{D}(7)=\{-7;-1;1;7\}$ donc il y a quatre cas à traiter :

• $2n+5=-7⟺2n=-12⟺n=-6$
  
• $2n+5=-1⟺2n=-6⟺n=-3$
  
• $2n+5=1⟺2n=-4⟺n=-2$
  
• $2n+5=7⟺2n=2⟺n=1$
  

Ainsi, si $2n+5$ divise $n-1$ , alors $n\in \{-6;-3;-2;1\}$ .

Réciproquement :

• pour $n=-6$ , on a : $2n+5=-7$ et $n-1=-7$ avec  $-7$ divisant  $-7$
  
• pour $n=-3$ , on a : $2n+5=-1$ et $n-1=-4$ avec  $-1$ divisant  $-4$
  
• pour $n=-2$ , on a : $2n+5=1$ et $n-1=-3$ avec  $1$ divisant  $-3$
  
• pour $n=1$ , on a : $2n+5=7$ et $n-1=0$ avec  $7$ divisant  $0$
  

donc si $n\in \{-6;-3;-2;1\}$ , alors $2n+5$  divise $n-1$ .

Finalement, les entiers $n\in \mathbb{Z}$ tels que $2n+5$ divise $n-1$ sont exactement $-6$ , $-3$ ,  $-2$ et $1$ .

Remarque

L'exercice précédent est long et répétitif, notamment dans sa partie « réciproque ». On serait donc tenté de raisonner par équivalence... mais ce n'est pas possible, car la propriété utilisée sur la divisibilité d'une combinaison linéaire n'est qu'une implication.