(2n + 5) divise-t-il (n-1) ? - Corrigé

Énoncé

Déterminer les entiers \(n \in \mathbb{Z}\) tels que \(2n+5\) divise \(n-1\) .

Solution

Soit \(n \in \mathbb{Z}\) tel que \(2n+5\) divise \(n-1\) .
Alors \(2n+5\) divise aussi \((2n+5)-2(n-1)=2n+5-2n+2=7\) .

Or \(\mathscr{D}(7)=\left\lbrace -7\ ; -1 \ ; 1 \ ; 7 \right\rbrace\) donc il y a quatre cas à traiter :

• \(2n+5=-7 \ \ \Longleftrightarrow \ \ 2n=-12 \ \ \Longleftrightarrow \ \ n=-6\)
  
• \(2n+5=-1 \ \ \Longleftrightarrow \ \ 2n=-6 \ \ \Longleftrightarrow \ \ n=-3\)
  
• \(2n+5=1 \ \ \Longleftrightarrow \ \ 2n=-4 \ \ \Longleftrightarrow \ \ n=-2\)
  
• \(2n+5=7 \ \ \Longleftrightarrow \ \ 2n=2 \ \ \Longleftrightarrow \ \ n=1\)
  

Ainsi, si \(2n+5\) divise \(n-1\) , alors \(n \in \left\lbrace -6 \ ; -3 \ ; -2 \ ; 1 \right\rbrace\) .

Réciproquement :

• pour \(n=-6\) , on a : \(2n+5=-7\) et \(n-1=-7\) avec  \(-7\) divisant  \(-7\)
  
• pour \(n=-3\) , on a : \(2n+5=-1\) et \(n-1=-4\) avec  \(-1\) divisant  \(-4\)
  
• pour \(n=-2\) , on a : \(2n+5=1\) et \(n-1=-3\) avec  \(1\) divisant  \(-3\)
  
• pour \(n=1\) , on a : \(2n+5=7\) et \(n-1=0\) avec  \(7\) divisant  \(0\)
  

donc si \(n \in \left\lbrace -6 \ ; -3 \ ; -2 \ ; 1 \right\rbrace\) , alors \(2n+5\)  divise \(n-1\) .

Finalement, les entiers \(n \in \mathbb{Z}\) tels que \(2n+5\) divise \(n-1\) sont exactement \(-6\) , \(-3\) ,  \(-2\) et \(1\) .

Remarque

L'exercice précédent est long et répétitif, notamment dans sa partie « réciproque ». On serait donc tenté de raisonner par équivalence... mais ce n'est pas possible, car la propriété utilisée sur la divisibilité d'une combinaison linéaire n'est qu'une implication.